题目内容

已知函 数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;
(2)若对于都有成立,试求的取值范围;
(3)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.

(1)的单调增区间是,单调减区间是.
(2).           (3)

解析试题分析:解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为,所以,所以. 所以. .由解得;由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是.
(II),由解得;由解得.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以当时,函数取得最小值,.
因为对于都有成立,所以即可.
. 由解得.  所以的范围是.
(III)依题得,则.由解得;由解得.
所以函数在区间为减函数,在区间为增函数.
又因为函数在区间上有两个零点,所以
解得.所以的取值范围是.   
考点:导数的运用
点评:主要是考查了运用导数研究函数的单调性,以及函数的零点问题,属于中档题。

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