Question

（本小题共l4分）

已知函数，．

（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的单调区间与极值；

（Ⅱ）设，解关于x的方程；

（Ⅲ）设，证明：．

Answer 1

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

当时．；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数．

为的极大值点，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，∵，

此时方程仅有一解．

②当时，，由，得，，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解．

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得，

．

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，．

又

．

即对任意时，有，又因为，所以．

则，故原不等式成立．