Question

（本小题共l4分）
已知函数，．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设，解关于x的方程；
（Ⅲ）设，证明：．

Answer 1

解：（Ⅰ），

．
令，得（舍去）．
当时．；当时，，
故当时，为增函数；当时，为减函数．
为的极大值点，且．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为，
即为，且
①当时，，则，即，
，此时，∵，
此时方程仅有一解．
②当时，，由，得，，
若，则，方程有两解；
若时，则，方程有一解；
若或，原方程无解．
方法二：原方程可化为，
即，
①当时，原方程有一解；
②当时，原方程有二解；
③当时，原方程有一解；
④当或时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得，
．
设数列的前n项和为，且（）
从而有，当时，．
又
．
即对任意时，有，又因为，所以．
则，故原不等式成立．

解析