题目内容
【题目】正整数数列
满足：
，
（1）写出数列的前5项；
（2）将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列
，试用
表示
（不必证明）；
（3）求最小的正整数
，使
．
【答案】（1）前五项为
，
，
，
，
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）根据递推关系令
依次求出前五项；
（2）依次写出部分项，观察规律归纳结果，加以分析其正确性；
（3）根据（2）的结论求出
，再把转化为
进行分类讨论，验证其与2013的大小关系，直到
求解得出出具体值.
（1）由题：，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以前五项为，，，，；
（2）由题
，
归纳，
显然当
时，结论成立，
假设已有
，显然
，
则
，
，
，
，
…
可以归纳：
，
故当
时，
因此成立；
（3）由（2）
所以
，
即
是以3为首项，3为公比的等比数列，
，，
由可知：
当
时，，
因此当
时，
；
当
时，
或
，即不能使
成立，
考虑
时：
由（2）
则解得
，则
，
所以
，
所以使的最小的正整数，
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