Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，△PAD是等腰直角三角形，且O是斜边AD的中点，OP⊥面ABCD，AD⊥PC，PA=PC=2．
（Ⅰ）求证：CA=CD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OP，证明OP⊥AD，然后推出AD⊥平面POC，得到AD⊥OC，证明CAD是以AD为底的等腰三角形，可得CA=CD．
（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz求出相关点的坐标，求出平面PCD的法向量，平面PCD的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：连接OP，∵OP⊥面ABCD，
∴OP⊥AD，
又∵AD⊥PC，且OP∩CP=P，
∴AD⊥平面POC，
∴AD⊥OC，
又∵O是边AD的中点，
∴△CAD是以AD为底的等腰三角形，
∴CA=CD．                  …（6分）
（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，$A（0，\sqrt{2}，0）$，$B（0，2\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，$C（0，0，\sqrt{2}）$，$D（0，-\sqrt{2}，0）$，$P（\sqrt{2}，0，0）$，
∴$\overrightarrow{PB}=（-\sqrt{2}，2\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，∴$\overrightarrow{DC}=（0，\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{DP}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，…（8分）
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}0•x+\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0\\ \sqrt{2}x+\sqrt{2}y+0•z=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}z=-y\\ x=-y\end{array}\right.$，不妨令y=-1，
∴平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，-1，1）$，…（10分）
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{PB}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{PB}}|}}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}•\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．