题目内容
【题目】如图,正方体的棱长为2,
分别为
的中点,则以下说法错误的是( )
A.平面截正方体所的截面周长为
B.存在上一点
使得
平面
C.三棱锥和
体积相等
D.存在上一点
使得
平面
【答案】B
【解析】
对于A,平面截正方体所得的截面为梯形
,求出梯形的周长即可得解;
对于B,通过建立空间直角坐标系,设出点坐标,证出
不成立,即可得出B选项错误;
对于C,通过等体积法,分别求出三棱锥和
的体积,进而得解;
对于D,通过线线平行,证得线面平行,进而得解.
对于A选项,连接,
,
,
分别为
,
的中点,
,
,
,
,
四点共线,
平面
截正方体所得的截面为梯形
,
截面周长
,
故A正确;
对于B选项,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
设,
所以,
,
若平面
,则
,而
显然不成立,
所以与
不垂直,所以
上不存在点
,使得
平面
,
所以B选项错误;
对于C选项,
,
,
所以成立,C正确;
对于D选项,取的中点
,
的中点
,连接
,
,
,
且
,
四边形
为平行四边形,
,
,
平面
,
平面
,
平面
,
点
为
的中点,
上存在一点
使得
平面
,故D正确.
故选:B.
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