Question

【题目】已知函数f（x）的导函数f'（x）满足2f（x）+xf′（x）＞x2（x∈R），则对x∈R都有（ ）
A.x2f（x）≥0
B.x2f（x）≤0
C.x2[f（x）﹣1]≥0
D.x2[f（x）﹣1]≤0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：构造函数F（x）=x2f（x），
则F'（x）=2xf（x）+x2f'（x）=x（2f（x）+xf'（x）），
当x＞0时，F'（x）＞x3＞0，F（x）递增；
当x＜0时，F'（x）＜x3＜0，F（x）递减，
所以F（x）=x2f（x）在x=0时取最小值，
从而F（x）=x2f（x）≥F（0）=0，
故选A．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．