Question

【题目】已知椭圆Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：

（1）求椭圆Г的方程：
（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证： + 为定值：
（3）设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d（0＜d＜2），求动点D的轨迹方程：

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，

∴b=c= ，∴ =2，

∴椭圆Г的方程为 =1．

（2）证明：设A（x0，y0），则OB的方程x0x+y0y=0，

由y=2，得B（﹣ ，2），

∴ + = + = = = ，

∴ + 为定值 ．

（3）解：设C（x0，y0），D（x，y），由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，①

又C点在椭圆上，得： ，②

联立①②，得： ， ，③

由OC⊥OD，得OCOD=CDd，

∴OC2OD2=（OC2+OD2）d2，

∴ = +

= +

= ，

化简，得D点轨迹方程为：（ ）x2+（ ）y2=1．

【解析】（1）由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆Г的方程．（2）设A（x0 ， y0），则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B（﹣ ，2），由此能证明 + 为定值 ．（3）设C（x0 ， y0），D（x，y），由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得： ，从而 ， ，由此能求出D点轨迹方程．