题目内容
【题目】已知椭圆Γ： 
+ 
=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点： 
（1）求椭圆Г的方程：
（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证： 
+ 
为定值：
（3）设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d（0＜d＜2），求动点D的轨迹方程：
【答案】
（1）解：∵椭圆Γ： 
+ 
=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，
∴b=c= 
，∴ 
=2，
∴椭圆Г的方程为 
=1．
（2）证明：设A（x0，y0），则OB的方程x0x+y0y=0，
由y=2，得B（﹣ 
，2），
∴ 
+ 
= 
+ 
= 
= 
= 
，
∴ + 为定值 ．
（3）解：设C（x0，y0），D（x，y），由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，①
又C点在椭圆上，得： 
，②
联立①②，得： 
， 
，③
由OC⊥OD，得OCOD=CDd，
∴OC2OD2=（OC2+OD2）d2，
∴ 
= + 
= 
+
= 
，
化简，得D点轨迹方程为：（ 
）x2+（ 
）y2=1．
【解析】（1）由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆Г的方程．（2）设A（x0 ， y0），则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B（﹣ ，2），由此能证明 + 为定值 ．（3）设C（x0 ， y0），D（x，y），由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得： ，从而 ， ，由此能求出D点轨迹方程．
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