Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）﹣（x﹣2）=3

当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，

所以f（x）的最小值等于3，即m=3

（2）证明：由（1）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，

所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，

所以a2+b2+c2≥3

【解析】（1）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）﹣（x﹣2）=3，即可求m的值；（2）由（1）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法和不等式的证明，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等即可以解答此题．