Question

    已知函数g(x)=(2－x)³－a(2－x)，函数f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x－1＝0对称.

    (1)求f(x)的表达式；

    (2)若f(x)在区间［1，＋∞］上是单调增函数，求实数a的取值范围；

    (3)记h(x)＝f(x)+g(x)，求证：当x₁，x₂∈(0，2)时，|h(x₁)－h(x₂)|＜12|x₁－x₂|.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)设P(x，y)为函数f(x)图象上任一点，其关于x＝1的对称点P′(x′，y′)应在g(x)图象上.     ∴∴代入g(x)表达式得f(x)= x3－ax.　　       (2)∵f′(x)=3x2－a，且f(x)在［1，+∞)上是增函数，     ∴3x2－a≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2∈［3，+∞）恒成立.     ∴a≤3.     (3)∵h(x)=f(x)+g(x)=(2－x)3－a(2－x)+x3－ax=6x2－12x+8－2a，     |h(x1)－h(x2)|=|(6x12－12x1+8－2a)－(6x22－12x2+8－2a)|     =|6(x12－x22)－12(x1－x2)|     =6|x1－x2|·|x1+x2－2|.     ∵x1，x2∈(0，2).     ∴0＜x1+x2＜4，∴－2＜x1+x2－2＜2，     即|x1+x2－2|＜2，∴6|x1－x2|·|x1+x2－2|＜12|x1－x2|，     即|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|.