题目内容

已知函数g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)

(I)当a=1时,若函数g(x)在区间(-1,1)上是增函数,求实数c的取值范围;
(II)当a≥
1
2
时,(1)求证:对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是c≤
3
4

(2)若关于x的实系数方程g′(x)=0有两个实根α,β,求证:|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是-
1
4
≤c≤a2-a
分析:(I)要使g'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,只要它的最小值f(-1)≥0,即-1-1+c≥0,解得c≥2.
(II)设g'(x)=f(x),对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是它的最大值c+
1
4
≤1,求得c的范围.
(2)g′(x)=0有两个实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是 
f(
1
2a
)  ≥  0
f(1) ≤ 0
,等价于
 
c ≥  -
1
4
c  ≤ a2- a
,从而证得结论.
解答:解:(I)当a=1时,g(x)=-
1
3
x3+
1
2
x2+cx
,g'(x)=-x2+x+c,
∵g(x)在(-1,1)上为单调递增函数,∴g'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,
∴-x2+x+c≥0在(-1,1)上恒成立,∴-1-1+c≥0,∴c≥2.
(II)设g'(x)=f(x),则f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-
1
2a
)2+c+
1
4
,此抛物线关于x=
1
2a
对称,
 由a≥
1
2
可得,0<
1
2a
≤1.对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是它的最大值c+
1
4
≤1,
c≤
3
4

(2)关于x的实系数方程g′(x)=0 即-a2x2+ax+c=0,即  -a2(x-
1
2a
)
2
+c+
1
4
=0,
∴g′(x)=0有两个实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是 
f(
1
2a
)  ≥  0
f(1) ≤ 0
,即
c+
1
4
 ≥  0
-a2+ a + c ≤ 0
,等价于 
c ≥  -
1
4
c  ≤ a2- a
,等价于   -
1
4
≤ c ≤a2-a
点评:本题考查函数的单调性与导数的关系,二次函数在闭区间上的值域,充要条件的定义,判断g′(x)=0两个
实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是 
f(
1
2a
)  ≥  0
f(1) ≤ 0
,是解题的难点.
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