题目内容
已知函数g(x)=-a2 |
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a |
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(I)当a=1时,若函数g(x)在区间(-1,1)上是增函数,求实数c的取值范围;
(II)当a≥
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(2)若关于x的实系数方程g′(x)=0有两个实根α,β,求证:|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是-
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分析:(I)要使g'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,只要它的最小值f(-1)≥0,即-1-1+c≥0,解得c≥2.
(II)设g'(x)=f(x),对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是它的最大值c+
≤1,求得c的范围.
(2)g′(x)=0有两个实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是
,等价于
,从而证得结论.
(II)设g'(x)=f(x),对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是它的最大值c+
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(2)g′(x)=0有两个实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是
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解答:解:(I)当a=1时,g(x)=-
x3+
x2+cx,g'(x)=-x2+x+c,
∵g(x)在(-1,1)上为单调递增函数,∴g'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,
∴-x2+x+c≥0在(-1,1)上恒成立,∴-1-1+c≥0,∴c≥2.
(II)设g'(x)=f(x),则f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-
)2+c+
,此抛物线关于x=
对称,
由a≥
可得,0<
≤1.对任意的x∈[0,1],g′(x)≤1的充要条件是它的最大值c+
≤1,
即 c≤
.
(2)关于x的实系数方程g′(x)=0 即-a2x2+ax+c=0,即 -a2(x-
)2+c+
=0,
∴g′(x)=0有两个实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是
,即
,等价于
,等价于 -
≤ c ≤a2-a.
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∵g(x)在(-1,1)上为单调递增函数,∴g'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,
∴-x2+x+c≥0在(-1,1)上恒成立,∴-1-1+c≥0,∴c≥2.
(II)设g'(x)=f(x),则f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-
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2a |
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2a |
由a≥
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2a |
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即 c≤
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(2)关于x的实系数方程g′(x)=0 即-a2x2+ax+c=0,即 -a2(x-
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2a |
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∴g′(x)=0有两个实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是
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点评:本题考查函数的单调性与导数的关系,二次函数在闭区间上的值域,充要条件的定义,判断g′(x)=0两个
实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是
,是解题的难点.
实根α,β,|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是
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