题目内容

5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（　　）
A．点H是△A1BD的垂心B．直线AH与CD1的成角为900
C．AH的延长线经过点C1D．直线AH与BB1的成角为450

分析 由题意判断A-A1BD是一个正三棱锥，说明H是三角形A1BD的中心，判断A的正误；由AH⊥面A1BD，可得AH⊥A1B，再由CD1∥A1B，可得直线AH与CD1的成角为90°；由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，判断C正确；通过解三角形求得直线AH与BB1所成的角判断D．

解答 解：由ABCD-A1B1C1D1是正方体，得A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故A正确；
∵AH⊥面A1BD，∴AH⊥A1B，又CD1∥A1B，可得直线AH与CD1的成角为90°，故B正确；
连接AC1，由三垂线定理及线面垂直的判定可得AC1⊥面A1DB，再由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，可得C正确；
直线AH与BB1所成的角，即为AH与AA1所成的角，设为θ，
由正方体棱长为1，可得正三棱锥的底面边长为$\sqrt{2}$，从而求得AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos$θ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴D错误．
故选：D．

点评 本题考查正方体中有关直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，是基础题．

练习册系列答案
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