Question

（2013•房山区一模）已知函数f（x）的定义域是D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；  
②f(

x

5

)=

1

2

f(x)；  
③f（1-x）=1-f（x）．
则f(

4

5

)=

1

2

，f(

1

12

)=

1

4

．

Answer 1

分析：由①③可知，f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

再由②即可求得f（

4

5

）=f（

1

5

）=

1

2

；再由②可求得f（

4

25

）=

1

4

=f（

1

25

），而

1

25

＜

1

12

＜

4

25

，利用函数f（x）在[0，1]上为非减函数，即可求得f（

1

12

）．

解答：解：∵f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
∴f（1）=1-f（0）=1，
又f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
∴f（

1

25

）=

1

4

；①
∵

1

5

+

4

5

=1，
∴由f（x）+f（1-x）=1得：f（

4

5

）=

1

2

；
∴f（

4

25

）=

1

4

．②
∵

1

25

＜

1

12

＜

4

25

，函数f（x）在[0，1]上为非减函数，
∴由①②知，f（

1

12

）=

1

4

．
故答案为：

1

2

，

1

4

．

点评：本题考查函数的值，着重考查观察、分析、与转化、运算与推理的能力，求得f（

4

25

）=

1

4

=f（

1

25

）是关键也是难点，属于难题．两边夹的方式求值技巧不易掌握，要好好体会！