题目内容
(2013•房山区一模)已知函数f(x)=
x2-alnx-
(a∈R,a≠0).
(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围.
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2 |
1 |
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(Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围.
分析:(I)当a=2时,写出f(x)的表达式,对f(x)进行求导,求出x=1处的斜率,再根据点斜式求出切线的方程;
(II)求出函数的定义域,令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间;令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间;
(III)由题意可知,对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0.下面对a进行分类讨论,从而求出a的取值范围;
(II)求出函数的定义域,令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间;令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间;
(III)由题意可知,对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0.下面对a进行分类讨论,从而求出a的取值范围;
解答:解:(Ⅰ)a=2时,f(x)=
x2-2lnx-
,f(1)=0…(1分)
f′(x)=x-
,f′(1)=-1…(2分)
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x+y-1=0…(3分)
(Ⅱ)f′(x)=x-
=
(x>0)…(4分)
①当a<0时,f′(x)=
>0恒成立,函数f(x)的递增区间为(0,+∞)
…(6分)
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=
或x=-
所以函数f(x)的递增区间为(
,+∞),递减区间为(0,
)
…(8分)
(Ⅲ)对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0
①当a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以只需f(1)≥0
而f(1)=
-aln1-
=0
所以a<0满足题意; …(9分)
②当0<a≤1时,0<
≤1,f(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以只需f(1)≥0
而f(1)=
-aln1-
=0
所以0<a≤1满足题意;…(10分)
③当a>1时,
>1,f(x)在[1,
]上是减函数,[
,+∞)上是增函数,
所以只需f(
)≥0即可
而f(
)<f(1)=0
从而a>1不满足题意; …(12分)
综合①②③实数a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1].…(13分)
1 |
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f′(x)=x-
2 |
x |
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x+y-1=0…(3分)
(Ⅱ)f′(x)=x-
a |
x |
x2-a |
x |
①当a<0时,f′(x)=
x2-a |
x |
…(6分)
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=
a |
a |
x | ( 0,
|
|
( (
| ||||||
f′(x) | - | + | |||||||
f(x) | 减 | 增 |
a |
a |
…(8分)
(Ⅲ)对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0
①当a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以只需f(1)≥0
而f(1)=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以a<0满足题意; …(9分)
②当0<a≤1时,0<
a |
所以只需f(1)≥0
而f(1)=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以0<a≤1满足题意;…(10分)
③当a>1时,
a |
a |
a |
所以只需f(
a |
而f(
a |
从而a>1不满足题意; …(12分)
综合①②③实数a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1].…(13分)
点评:考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值和单调性.恒成立的问题,一般都要求函数的最值,此题是一道中档题.

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