题目内容

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A1BD；
（2）求二面角D-BA1-A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B1到平面A1BD的距离．
（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（-1，0，0）
E（-1，-1，0）A1（1，-2，0）C1（-1，-2，0）B （0，0，
3
）
AE
=（-2，-1，0）
A1D
=（-1，2，0）
BD
=（0.0，-
3
）

∵
AE
•
A1D
=2-2+0=0
∵
AE
•
BD
=0，∴∴
AE
⊥
A1D
，
AE
⊥
BD

即AE⊥A1D，AE⊥BD，又A1D∩BD=D
∴AE⊥面A1BD
（2）设面DA1B的法向量为
n1
=（x1，y1，z1）由
n1
•
A1D
=0，
n1
•
BD
=0
得
-x1+2y1=0
z1(-
3
)=0
取
n1
=（2，1，0）
设面BA1A的法向量为
n2=
(x2，y2，z2)，
同理由
n2
•
A1B
=0，
n2
•
A1A
=0
解得
n2
=（3.0，
3
），
cos＜
n1
，
n2
＞=
6
5
×
12
=
15
5
．
由图可知二面角D-BA1-A为锐二面角，所以它的大小为arccos
15
5
．
（3）
B1B
=（0，2，0）平面A1BD的法向量取
n1
=（2，1，0）
则点B1到平面A1BD的距离d=|
B1B
•
n1
|
n1
|
|=
2
5
=
2
5
5
．
练习册系列答案
相关题目
下列命题中：
（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；
（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.
其中正确的个数有_____________。
三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC与AB所成角的余弦值．
如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求
BN
的模；
（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB、BC的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直线SN与平面CMN所成角的大小．
已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面AA′D′D所成角的大小．
如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（
3
2
，
1
2
，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量
OD
的坐标；
（Ⅱ）设向量
AD
和
BC
的夹角为θ，求cosθ的值．
如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，点D是BC上一点，且AD⊥C1D．
（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求证：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．
已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（Ⅰ）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（Ⅱ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

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