Question

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x
（Ⅰ）若m=-1，求函数f（x）的极值
（Ⅱ）若函数f（x）的单调递减区间为（-4，-2），求实数m的值．

Answer 1

分析：（I）先求函数的导函数，然后研究导函数的符号，从而确定函数的极值点，代入函数解析式即可求出极值；
（II）根据函数f（x）的单调递减区间为（-4，-2），则-4与-2是x²+（m+2）x+2m=0的两个根，利用根与系数的关系可求出m的值．

解答：解：（I）若m=-1，则f（x）=（x²-x-1）e^x；
f′（x）=（2x-1）e^x+（x²-x-1）e^x=（x²+x-2）e^x；
当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0
∴当x=-2时函数f（x）取极大值f（-2）=5e^-2，当x=1时，函数f（x）取极小值f（1）=-e，
（II）f′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x=[x²+（m+2）x+2m]e^x；
∵函数f（x）的单调递减区间为（-4，-2），
∴-4与-2是x²+（m+2）x+2m=0的两个根
即m=4
∴实数m的值为4．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．