题目内容
已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex.
(Ⅰ)若m=-1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)没有零点,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)若m=-1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)没有零点,求实数m的取值范围.
分析:(I)先求函数的导函数,然后研究导函数的符号,从而确定函数的极值点,代入函数解析式即可求出极值;
(Ⅱ)令f(x)=0,得(x2+mx+m)•ex=0,所以x2+mx+m=0,根据函数f(x)没有零点,可得△=m2-4m<0,从而可求实数m的取值范围.
(Ⅱ)令f(x)=0,得(x2+mx+m)•ex=0,所以x2+mx+m=0,根据函数f(x)没有零点,可得△=m2-4m<0,从而可求实数m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由题意可得f'(x)=(x+2)(x-1)ex,
令f'(x)=0得x=-2或x=1,…(2分)x,f(x),f'(x)的关系列表如下:
由表可得,f(x)在x=-2取到极大值f(-2)=
,f(x)在x=-1取到极小值f(1)=-e.…(8分)
(Ⅱ)令f(x)=0,得(x2+mx+m)•ex=0,所以x2+mx+m=0.…(9分)
因为函数f(x)没有零点,所以△=m2-4m<0,…(11分)
所以0<m<4.…(12分)
令f'(x)=0得x=-2或x=1,…(2分)x,f(x),f'(x)的关系列表如下:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,1) | 1 | (1,+∞) |
f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | f(-2)为极大值 | ↘ | f(1)为极小值 | ↗ |
5 |
e2 |
(Ⅱ)令f(x)=0,得(x2+mx+m)•ex=0,所以x2+mx+m=0.…(9分)
因为函数f(x)没有零点,所以△=m2-4m<0,…(11分)
所以0<m<4.…(12分)
点评:本题以函数为载体,考查利用导数研究函数的单调性,利用函数研究函数的极值,其中根据已知函数,求出函数的导函数是解答此类问题的关键.
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