题目内容
已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex．
（Ⅰ）若m=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围．
（Ⅰ）若m=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围．
分析：（I）先求函数的导函数，然后研究导函数的符号，从而确定函数的极值点，代入函数解析式即可求出极值；
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0，根据函数f（x）没有零点，可得△=m2-4m＜0，从而可求实数m的取值范围．
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0，根据函数f（x）没有零点，可得△=m2-4m＜0，从而可求实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得f'（x）=（x+2）（x-1）ex，
令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的关系列表如下：
由表可得，f（x）在x=-2取到极大值f（-2）=
，f（x）在x=-1取到极小值f（1）=-e．…（8分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0．…（9分）
因为函数f（x）没有零点，所以△=m2-4m＜0，…（11分）
所以0＜m＜4．…（12分）
令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的关系列表如下：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，1） | 1 | （1，+∞） |
| f（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | f（-2）为极大值 | ↘ | f（1）为极小值 | ↗ |
| 5 |
| e2 |
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0．…（9分）
因为函数f（x）没有零点，所以△=m2-4m＜0，…（11分）
所以0＜m＜4．…（12分）
点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．
练习册系列答案
相关题目