题目内容
已知m∈R,函数f(x)=mx-
-lnx,g(x)=
+lnx
(I)求g(x)的极小值;
(Ⅱ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)证明:
+
+
+…+
<
(n∈N*).
m-1 |
x |
1 |
2 |
(I)求g(x)的极小值;
(Ⅱ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)证明:
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
lnn |
n |
n2 |
2(n+1) |
分析:(I)确定函数g(x)的定义域为(0,+∞),求导函数,确定函数的单调性,从而可求函数的极小值;
(Ⅱ)求导函数,y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,转化为y′=m+
-
≥0在[1,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式求最值,即可求实数m的取值范围;
(Ⅲ)由(Ⅱ)整理得,
≤
(1-
).再利用放缩法证明即可得到
+
+
+…+
<
.
(Ⅱ)求导函数,y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,转化为y′=m+
m |
x2 |
2 |
x |
(Ⅲ)由(Ⅱ)整理得,
lnx |
x |
1 |
2 |
1 |
x2 |
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
lnn |
n |
n2 |
2(n+1) |
解答:解:(Ⅰ)函数g(x)的定义域为(0,+∞).g′(x)=-
+
=
.
当x∈(0,1),g'(x)<0,当x∈(1,+∞),g'(x)>0.
∴x=1为极小值点.极小值g(1)=1.…(4分)
(Ⅱ)∵y=mx-
-
-2lnx=mx-
-2lnx.
∴y′=m+
-
≥0在[1,+∞)上恒成立,即m≥
在x∈[1,+∞)上恒成立.
又
=
≤1,所以m≥1.
所以,所求实数m的取值范围为[1,+∞)..…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ),取m=1,设h(x)=f(x)-g(x)=x-
-2lnx≥h(1)=0,
则2lnx≤x-
,即
≤
(1-
).
于是
≤
(1-
)(n∈N*).
∴
+
+
+…+
≤
[n-(
+
+
+…+
)]
<
[n-(
+
+
+…+
)]
=
[n-(1-
+
-
+…+
-
)]
=
(n-1+
)=
.
所以
+
+
+…+
<
(n∈N*).…(14分)
1 |
x2 |
1 |
x |
x-1 |
x2 |
当x∈(0,1),g'(x)<0,当x∈(1,+∞),g'(x)>0.
∴x=1为极小值点.极小值g(1)=1.…(4分)
(Ⅱ)∵y=mx-
m-1 |
x |
1 |
x |
m |
x |
∴y′=m+
m |
x2 |
2 |
x |
2x |
x2+1 |
又
2x |
x2+1 |
2 | ||
x+
|
所以,所求实数m的取值范围为[1,+∞)..…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ),取m=1,设h(x)=f(x)-g(x)=x-
1 |
x |
则2lnx≤x-
1 |
x |
lnx |
x |
1 |
2 |
1 |
x2 |
于是
lnn |
n |
1 |
2 |
1 |
n2 |
∴
ln1 |
1 |
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
lnn |
n |
1 |
2 |
1 |
12 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
<
1 |
2 |
1 |
1•2 |
1 |
2•3 |
1 |
3•4 |
1 |
n(n+1) |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
=
1 |
2 |
1 |
n+1 |
n2 |
2(n+1) |
所以
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
lnn |
n |
n2 |
2(n+1) |
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查恒成立问题,考查不等式的证明,分离参数,确定函数的最值是关键.
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