题目内容

已知m∈R,函数f(x)=mx-
m-1
x
-lnx
g(x)=
1
2
+lnx

(I)求g(x)的极小值;
(Ⅱ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)证明:
ln2
2
+
ln3
3
+
ln4
4
+…+
lnn
n
n2
2(n+1)
(n∈N*)
分析:(I)确定函数g(x)的定义域为(0,+∞),求导函数,确定函数的单调性,从而可求函数的极小值;
(Ⅱ)求导函数,y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,转化为y′=m+
m
x2
-
2
x
≥0
在[1,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式求最值,即可求实数m的取值范围;
(Ⅲ)由(Ⅱ)整理得,
lnx
x
1
2
(1-
1
x2
)
.再利用放缩法证明即可得到
ln2
2
+
ln3
3
+
ln4
4
+…+
lnn
n
n2
2(n+1)
解答:解:(Ⅰ)函数g(x)的定义域为(0,+∞).g′(x)=-
1
x2
+
1
x
=
x-1
x2

当x∈(0,1),g'(x)<0,当x∈(1,+∞),g'(x)>0.
∴x=1为极小值点.极小值g(1)=1.…(4分)
(Ⅱ)∵y=mx-
m-1
x
-
1
x
-2lnx
=mx-
m
x
-2lnx

y′=m+
m
x2
-
2
x
≥0
在[1,+∞)上恒成立,即m≥
2x
x2+1
在x∈[1,+∞)上恒成立.
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
≤1
,所以m≥1.
所以,所求实数m的取值范围为[1,+∞)..…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ),取m=1,设h(x)=f(x)-g(x)=x-
1
x
-2lnx≥h(1)=0

2lnx≤x-
1
x
,即
lnx
x
1
2
(1-
1
x2
)

于是
lnn
n
1
2
(1-
1
n2
)
(n∈N*).
ln1
1
+
ln2
2
+
ln3
3
+…+
lnn
n
1
2
[n-(
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)]

1
2
[n-(
1
1•2
+
1
2•3
+
1
3•4
+…+
1
n(n+1)
)]

=
1
2
[n-(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)]

=
1
2
(n-1+
1
n+1
)
=
n2
2(n+1)

所以
ln2
2
+
ln3
3
+
ln4
4
+…+
lnn
n
n2
2(n+1)
(n∈N*).…(14分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查恒成立问题,考查不等式的证明,分离参数,确定函数的最值是关键.
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