Question

16．（1）对一切实数x不等式（m+1）x²-2（m+1）x-m≤0恒成立，求m的取值范围；
（2）对一切实数x不等式（m+1）x²-2（m+1）x-m＜0恒成立，求m的取值范围；
（3）对一切实数x不等式（m+1）x²-2（m+1）x-m≥0恒成立，求m的取值范围；
（4）求函数y=（m+1）x²-2（m+1）x-m≥0的最值？（其中m为常数）

Answer 1

分析 （1）根据题意，对字母系数m进行讨论，求出对应m的取值范围；
（2）根据题意，对字母系数m进行讨论，求出对应m的取值范围；
（3）根据题意，讨论m的取值，列出对应的不等式，求出m的取值范围；
（4）讨论m+1＞0？=0？还是＜0？，求出对应函数y的最值．

解答 解：（1）当m+1=0时，m=-1，不等式化为1≤0，显然不成立；
当m+1≠0，即m≠-1时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{{4（m+1）}^{2}-4（m+1）•（-m）≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{-1≤m≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
此不等式组无解，
∴m的取值范围是∅；
（2）当m+1=0时，m=-1，不等式化为1＜0，显然不成立；
当m+1≠0，即m≠-1时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{4（m+1）}^{2}-4（m+1）•（-m）＜0}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{-1＜m＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
此不等式组无解，
∴m的取值范围是∅；
（3）当m+1=0，即m=-1时，不等式化为1≥0，恒成立；
当m+1≠0，即m≠-1时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{{4（m+1）}^{2}-4（m+1）•（-m）≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{-1≤m≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即-1＜m≤$\frac{1}{2}$；
综上，m的取值范围是{m|-1≤m≤-$\frac{1}{2}$}；
（4）当m+1=0时，m=-1，函数应为y=1，最大、最小值都是1；
当m+1≠0，即m≠-1时，若m+1＞0，即m＞-1时，
函数y=（m+1）x²-2（m+1）x-m有最小值，
为$\frac{4（m+1）•（-m）-{4（m+1）}^{2}}{4（m+1）}$=-2m-1；
若m+1＜0，即m＜-1时，
函数y=（m+1）x²-2（m+1）x-m有最大值，
为$\frac{4（m+1）•（-m）-{4（m+1）}^{2}}{4（m+1）}$=-2m-1．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，也考查了求二次函数的最值问题以及分类讨论的应用问题，是综合性题目．