Question

14．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{3x-y≥1}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数可得$a+\frac{3}{2}b=1$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{3x-y≥1}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解得A（2，3），
化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+3b=2．
∴$a+\frac{3}{2}b=1$，
则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）（$a+\frac{3}{2}b$）=2+$\frac{9}{2}+\frac{3b}{a}+\frac{3a}{b}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{\frac{3b}{a}•\frac{3a}{b}}=\frac{25}{2}$．
当且仅当a=b时上式等号成立．
故答案为：$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．