题目内容
设动点P(x,y)(x≥0)到定点F
的距离比到y轴的距离大
.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(3)过F
作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.


(1)求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(3)过F

(1) y2=2x (2) BD=2,即弦长BD为定值 (3)8
解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F


(2)是定值.解法如下:设圆心M

半径r=

圆的方程为


令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦长BD为定值.
(3)设过F的直线GH的方程为y=k

由


∴x1+x2=1+


∴|GH|=



同理得|RS|=2+2k2.
S四边形GRHS=


∴四边形GRHS面积的最小值为8.

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