Question

（2012•虹口区二模）已知：函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=

g(x)

x

．
（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
（3）如果关于x的方程f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），可知函数在区间[2，3]上是单调函数，故可建立方程组，从而可求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）利用分离参数法，求出函数的最值，即可得到结论；
（3）根据f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-3）=0，可得|2^x-1|+

1

|2x-1|

+

4t

|2x-1|

-3t-2=0，利用换元法u=|2^x-1|＞0，转化为u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，当0＜u₁＜1＜u₂时，原方程有三个相异实根，故可求实数t的取值范围．

解答：解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：
①

a＞0 g(2)=1+b=1 g(3)=3a+b+1=4

得

a=1 b=0

②

a＜0 g(2)=1+b=4 g(3)=3a+b+1=1

得

a=-1 b=3＞1

（舍去）
∴a=1，b=0…（4分）
∴g（x）=x²-2x+1，f(x)=x+

1

x

-2…（5分）
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0，即k≤(

1

2x

)2-2•(

1

2x

)+1…（9分）
设t=

1

2x

，∴t∈[

1

2

，2]，∴k≤（t-1）²
∵（t-1）²_min=0，∴k≤0…（11分）
（3）f（|2^x-1|）+t•（

4

|2x-1|

-3）=0，即|2^x-1|+

1

|2x-1|

+

4t

|2x-1|

-3t-2=0．
令u=|2^x-1|＞0，则 u²-（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）
记方程①的根为u₁，u₂，当0＜u₁＜1＜u₂时，原方程有三个相异实根，
记φ（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由题可知，

φ(0)=4t+1＞0 φ(1)=t＜0

或

φ(0)=4t+1＞0 φ(1)=t=0 0＜ 3t+2 2 ＜1

．…（16分）
∴-

1

4

＜t＜0时满足题设．…（18分）

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法求解恒成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题．