Question

18．已知函数f（x）=10$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+10cos²$\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x₀，使得g（x₀）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；
（Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式；
（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x₀ ，使得10sinx₀ -8＞0，即sinx₀ $＞\frac{4}{5}$，由$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$知，存在0＜α₀＜$\frac{π}{3}$，使得sinα₀=$\frac{4}{5}$
由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α₀，2kπ+π-α₀）（k∈Z）时，均有sinx$＞\frac{4}{5}$，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=10$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+10cos²$\frac{x}{2}$=5$\sqrt{3}$sinx+5cosx+5=10sin（x+$\frac{π}{6}$）+5，
∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，
再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5-a的图象，
∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5-a=2，解得a=13，
∴函数g（x）=10sinx-8．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x₀，使得g（x₀）＞0，
就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x₀ ，使得10sinx₀ -8＞0，即sinx₀ $＞\frac{4}{5}$，
由$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$知，存在0＜α₀＜$\frac{π}{3}$，使得sinα₀=$\frac{4}{5}$，
由正弦函数的性质可知，当x∈（α₀，π-α₀）时，均有sinx$＞\frac{4}{5}$，
因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α₀，2kπ+π-α₀），
（k∈Z）时，均有sinx$＞\frac{4}{5}$．
因为对任意的整数k，（2kπ+π-α₀）-（2kπ+α₀）=π-2α₀＞$\frac{π}{3}$＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数x_k∈（2kπ+α₀，2kπ+π-α₀），使得sinx_k$＞\frac{4}{5}$，
即存在无穷多个互不相同的正整数x₀，使得g（x₀）＞0．

点评 本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题．