Question

20．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，求
（1）（x+1）²+y²的最大值和最小值；
（2）$\frac{y+1}{x+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）设z=（x+1）²+y²，则z的几何意义是区域内的点到定点（-1，0）的距离的平方，结合图象即可求最大值和最小值；
（2）设k=$\frac{y+1}{x+2}$，则k的几何意义为区域内的点到点（-2，-1）的斜率，根据图象即可求k最大值和最小值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（0，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3）．
（1）设z=（x+1）²+y²，则z的几何意义是区域内的点到定点D（-1，0）的距离的平方，
由图象知AD的距离最大，此时z=（2+1）²+3²=9+9=18，
D到直线BC的距离最小，此时D到直线2x+y-2=0的距离d=$\frac{|-2+0-2|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，
则z的最小值z=d²=$\frac{16}{5}$．
（2）设k=$\frac{y+1}{x+2}$，
则k的几何意义为区域内的点到点E（-2，-1）的斜率，
由图象知BE的斜率最大，CE的斜率最小，
则k_BE=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$，k_CE=$\frac{0+1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
即k的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线的斜率以及两点间的距离，结合数形结合是解决本题的关键．