题目内容

9.已知复数z=a+bi(a、b∈R+)(i是虚数单位)是方程x2-4x+5=0的根,复数w=u+3i(u∈R)满足|w-z|<2$\sqrt{5}$,求u的取值范围.

分析 复数z=a+bi(a、b∈R+)(i是虚数单位)是方程x2-4x+5=0的根,代入可得(a+bi)2-4(a+bi)+5=0,利用复数的运算法则及其复数相等可得a,b.再利用复数模的计算公式即可得出.

解答 解:∵复数z=a+bi(a、b∈R+)(i是虚数单位)是方程x2-4x+5=0的根,
∴(a+bi)2-4(a+bi)+5=0,
化为a2-b2-4a+5+(2ab-4b)i=0,
∴a2-b2-4a+5=0,2ab-4b=0,
又a,b∈R+
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a=2}\end{array}\right.$,
∴z=2+i.
∵复数w=u+3i(u∈R)满足|w-z|<2$\sqrt{5}$,
∴|(u-2)+2i|<2$\sqrt{5}$,
∴$\sqrt{(u-2)^{2}+{2}^{2}}$<2$\sqrt{5}$,
化为(u-2)2<16,
解得-2<u<6.
∴u的取值范围是(-2,6).

点评 本题考查了复数的运算法则及其复数相等、复数模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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