题目内容
(08年银川一中三模理)(12分) 已知椭圆C:(a>b>0),点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P(2,
)在直线x=
上,且|F1F2|=|PF2|,直线
:y=kx+m为动直线,且直线
与椭圆C交于不同的两点A、B。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当取何值时,△ABO的面积最大,并求出这个最大值.
解析:椭圆的左、右焦点分别为
、
, ……2分
又,
,
………3分
解得,
椭圆
的方程为
. ………4分
(Ⅱ)由,得
.
设点、
的坐标分别为
、
,则
……5分
.
(1)当时,点
、
关于原点对称,则
.
(2)当时,点
、
不关于原点对称,则
,
由,得
即
点
在椭圆上,
有
,
化简,得.
,
有
.………………① ……………7分
又,
由
,得
.……………………………②
将①、②两式,得.
,
,则
且
.
综合(1)、(2)两种情况,得实数的取值范围是
. ………………8分
(Ⅲ),点
到直线
的距离
,
的面积
. ………………………… 10分
由①有,代入上式并化简,得
.
,
. ……………………… 11分
当且仅当,即
时,等号成立.
当
时,
的面积最大,最大值为
. ……………………… 12分

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