Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆周，则

1

a

+

1

b

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆周，可得圆的圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：由题意，圆的圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上
∴-2a-2b+2=0（a＞0，b＞0）
∴a+b=1
∴

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4
当且仅当

b

a

=

a

b

，即a=b=

1

2

时，

1

a

+

1

b

的最小值为4
故答案为：4

点评：本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．