题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,判断函数
的单调性;
(Ⅱ)当时,证明:
.(
为自然对数的底数)
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)函数的定义域为
.
.
①当时,
.
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减.
②当时,
.
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增.
③当时,
.
易知恒成立,函数
在
上单调递增;
④当时,
.
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增.
综上,当时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)当时,不等式化为
.
记,则
.
显然在
上单调递增,
且,
.
所以在
上有唯一的零点
,且
.
所以当时,
,函数
单调递减;当
时,
,函数
单调递增.
由,即
,得
,
所以
,
而易知函数在
上单调递减,
所以,
所以.
所以,即
.
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