题目内容
【题目】已知数列满足:
,
.
(1)求最小的正实数,使得对任意的
,恒有
;
(2)求证:对任意的正整数,恒有
.
【答案】(1)1;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)已知条件是数列的递推式,比较复杂,在证明时,可先计算数列的前几项,如.想象即归纳出结论数列
是递减数列,从而
的最小值为1,因此只要证明
,可用数学归纳法证(2)
证明;(2)由(1)可得数列是单调递减的正项数列.,这样右边的证明较方便,只要重新放缩可得,
,从而
,左边不等式的证明较难,左边先放缩为
,从而
,左右同除
得:
,即
,利用累加法求
(其中求和
,可用裂项相消或错位相减法求得),可证明不等式.
试题解析:(1)由于,
,
,
由此我们可以猜想为单调递减数列,因此我们猜测
的最小值为1,下面我们证明
.
,故当
时,数列
为单调递减数列,从而
.
,由于
,且当
时,有
从而对任意的,恒有
,又由于
,从而所求的最小正实数
.
(说明:若用数学归纳法证明,也同样给满分)
事实上,由于,假设
时,
,则当
时,
考虑到,从而
,
.
从而,
从而由数学归纳法原理得:对任意的,恒有
.
又由于,从而所求的最小正实数
.
(2)由于,则
,
从而数列是单调递减的正项数列.
一方面,,从而
另一方面,,从而
,
左右同除得:
,即
设
(也可利用错位相减法求解
,两式相减得
,从而
)
从而由,得,
当时,
从而,即
,
即当时,
,又当
时,
,从而对任意的
,恒有
.
综上所示,对任意的正整数,恒有
.

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