题目内容
【题目】已知数列满足:,.
(1)求最小的正实数,使得对任意的,恒有;
(2)求证:对任意的正整数,恒有.
【答案】(1)1;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)已知条件是数列的递推式,比较复杂,在证明时,可先计算数列的前几项,如.想象即归纳出结论数列是递减数列,从而的最小值为1,因此只要证明,可用数学归纳法证(2)
证明;(2)由(1)可得数列是单调递减的正项数列.,这样右边的证明较方便,只要重新放缩可得,
,从而,左边不等式的证明较难,左边先放缩为,从而,左右同除得:,即,利用累加法求(其中求和,可用裂项相消或错位相减法求得),可证明不等式.
试题解析:(1)由于,,,
由此我们可以猜想为单调递减数列,因此我们猜测的最小值为1,下面我们证明.
,故当时,数列为单调递减数列,从而.
,由于,且当时,有
从而对任意的,恒有,又由于,从而所求的最小正实数.
(说明:若用数学归纳法证明,也同样给满分)
事实上,由于,假设时,,则当时,
考虑到,从而,.
从而,
从而由数学归纳法原理得:对任意的,恒有.
又由于,从而所求的最小正实数.
(2)由于,则,
从而数列是单调递减的正项数列.
一方面,,从而
另一方面,,从而,
左右同除得:,即
设
(也可利用错位相减法求解,两式相减得
,从而
)
从而由,得,
当时,
从而,即,
即当时,,又当时,,从而对任意的,恒有.
综上所示,对任意的正整数,恒有.
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