Question

【题目】已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E，M分别是BC，PD中点，点F在棱PC上移动.

（1）证明无论点F在PC上如何移动，都有平面平面；

（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)易证得,,即证得平面,进而证得结论.

(2) 以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系,设,根据向量法求出线面成角的正弦值,求出取最大值时的参数,依次求出法向量即可得出结果.

（1）连接AC.

底面ABCD为菱形，，

是正三角形，是BC中点，

，又，

，又平面，

平面，，

又，平面，

又平面，

平面平面.

（2）由（1）知，AE，AD，AP两两垂直，

以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知：，，，，，，

，，

而

且，

设平面PCD的法向量，

，取，

.根据题意，

线面角

当时，最大，

此时F为PC的中点，即，

，，.

设平面AEF的法向量为，

平面AEM的法向量为，

，解得，

同理可得，

，

所以二面角的平面角的余弦值为.