题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（其中
为参数）．以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线
的极坐标方程为
．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）过点
作直线的垂线交曲线于
两点，求
.
【答案】（1）
，
； （2）16.
【解析】
（1）对直线
的参数方程消参得，利用
即可将
化为
，问题得解。
（2）利用已知即可求得过点
的直线的参数方程为：
，联立直线参数方程与曲线
的普通方程可得：
，结合韦达定理及直线参数方程中参数的几何意义即可得解。
（1）直线的参数方程为
（其中
为参数）
消去可得：，
由得
，得.
（2）过点与直线垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入
可得，
设M，N对应的参数为
，
，则
，
所以
.
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【题目】鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征.某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鯉”和“中华彩鲤”杂交育种实验.研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后，将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育.为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据（单位：
）如下：
5 | 6 | 7 | 7.5 | 8 | 8.4 | 4 | 3.5 | 4.5 | 4.3 |
5 | 4 | 3 | 2.5 | 4 | 1.6 | 6 | 6.5 | 5.5 | 5.7 |
3.1 | 5.2 | 4.4 | 5 | 6.4 | 3.5 | 7 | 4 | 3 | 3.4 |
6.9 | 4.8 | 5.6 | 5 | 5.6 | 6.5 | 3 | 6 | 7 | 6.6 |
（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为
，它能否被选为种鱼？说明理由；
（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为
，中华彩鲤样本数据平均值为
，求所有样本数据的平均值；
（3）如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的2尾组合到一起的概率.
