题目内容

给出以下4个命题:
①曲线x2-(y-1)2=1按=(1,-2)平移可得曲线(x+1)2-(y-3)2=1;
②若|x-1|+|y-1|≤1,则使x-y取得最小值的最优解有无数多个;
③设A、B为两个定点,n为常数,||-||=n,则动点P的轨迹为双曲线;
④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,P是该椭圆上的任意一点,延长F1P到点M,使|F2P|=|PM|,则点M的轨迹是圆.
其中所有真命题的序号为   
【答案】分析:①原曲线即为线x2-(y-1)2=1,按向量平移即是把函数向右平移1个单位,向下平移2个单位后得到曲线.
②数形结合进行判定即可;
③不正确.若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离;
④充分利用平面几何图形的条件特点,结合椭圆的定义,得到|F1Q|为定长,从而确定动点Q的轨迹是个什么图形.
解答:解:①原曲线即为x2-(y-1)2=1,则平移后的曲线C为(x-1)2-(y+1)2=1,故①不正确.
②先画出约束条件|x-1|+|y-1|≤1的图形,当z=x-y与区域的一边重合时取得最小值,则最小值的最优解有无数多个,故②正确;

③若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.
当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线,③不正确;
④∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a,
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.故④正确;
故答案为:②④
点评:本题主要考查了曲线的平移,以及求轨迹方程的方法及定义法和线性规划等问题,同时考查了作图能力,是一道综合题.
练习册系列答案
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