Question

（2012•绍兴一模）定义运算a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

，例如，1*2=1，则函数f（x）=x²*（1-|x|）的最大值为

3- 5

2

．

Answer 1

分析：分析：根据定义a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

化简函数f（x）=x²*（1-|x|）为分段函数f(x)=

x2(x2≤1-|x|) 1-|x|(x2＞1-|x|)

，为了计算的方便则令t=|x|化简成关于t的分段函数f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

，根据函数的单调性求其最大值即可．

解答：解：由题意知
∵a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

∴函数f（x）=x²*（1-|x|）可化简为：f(x)=

x2(x2≤1-|x|) 1-|x|(x2＞1-|x|)

令t=|x|得：f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

∴要求原分段函数的最大值，只需求f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

的最大值
即：f(t)=

t2(0≤ t≤ -1+ 5 2 ) 1-t(t＞ -1+ 5 2 )

又∵函数f（t）在区间[0，

-1+ 5

2

]上单调递增函数，在区间（

-1+ 5

2

，+∞）上单调递减函数，
∴f（t）的最大值在t=

-1+ 5

2

时取得，即f(t)max=f(

-1+ 5

2

)=

3- 5

2

故答案为：

3- 5

2

．

点评：本题主要考查两点，一点是对新定义的理解，二点是利用函数单调性求分段函数的最值，属于中档题型．