题目内容
(本题满分12分)在如图的多面体中,⊥平面,,,,,,,是的中点.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求证:;
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求证:;
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.
试题分析:
解:(Ⅰ)证明:∵,∴; 又∵,是的中点,∴,且,∴四边形是平行四边形,∴. ∵平面,平面,∴平面. 4分
(Ⅱ) 解法1:证明:∵平面,平面,∴;又,平面,∴平面. 过作交于,则平面.∵平面,∴.
∵,∴四边形平行四边形,∴,∴,又,∴四边形为正方形,∴,又平面,平面,∴⊥平面. ∵平面,∴. 8分
解法2:∵平面,平面,平面,∴,,又,∴两两垂直. 以点为坐标原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得,,,,;∴,,
∴,∴. 8分
(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 设平面的法向量为,
∵,
∴,∴,即,令,得.
设二面角的大小为,由法向量与的方向可知,,
∴,即二面角的余弦值为. 12分
点评:
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