题目内容

(本题满分12分)在如图的多面体中,⊥平面,的中点.

(Ⅰ) 求证:平面
(Ⅱ) 求证:
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.

试题分析:
解:(Ⅰ)证明:∵,∴; 又∵的中点,∴,且,∴四边形是平行四边形,∴. ∵平面平面,∴平面.      4分
(Ⅱ) 解法1:证明:∵平面平面,∴;又平面,∴平面. 过,则平面.∵平面,∴.
,∴四边形平行四边形,∴,∴,又,∴四边形为正方形,∴,又平面平面,∴⊥平面. ∵平面,∴.         8分
解法2:∵平面平面平面,∴,∴两两垂直. 以点为坐标原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得,;∴
,∴.   8分
(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 设平面的法向量为

,∴,即,令,得.
设二面角的大小为,由法向量的方向可知,
,即二面角的余弦值为.   12分
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