题目内容

【题目】已知,设函数.

(1)当时,求的极值点;

(2)讨论在区间上的单调性;

(3)对任意恒成立时, 的最大值为1,求的取值范围.

【答案】(1)的极小值点,无极大值点;(2)见解析;(3).

【解析】试题分析】(1)先求导数,再解方程求导函数的零点;(2)运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求;(3)先将不等式进行等价转化,再分离参数,构造函数运用导数知识求解

(1)当时, ,∴,令,则,当时, ;当时, ,所以的极小值点,无极大值点.

(2)

①当时, 上单调递增;在上单调递减,

②当时, 上单调递增.

③当时, 上单调递增;在上单调递减

④当时, 上单调递增,在上单调递减.

(3)∵ 。由

对任意恒成立,即

对任意恒成立.

,根据题意,可以知道的最大值为1,则 恒成立.

由于,则.

时, ,令,则,令,得,则上单调递减,在上单调递增,则,∴上单调递增.

从而,满足条件,故的取值范围是.

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