题目内容
【题目】已知,设函数.
(1)当时,求的极值点;
(2)讨论在区间上的单调性;
(3)对任意恒成立时, 的最大值为1,求的取值范围.
【答案】(1)是的极小值点,无极大值点;(2)见解析;(3).
【解析】【试题分析】(1)先求导数,再解方程求导函数的零点;(2)运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求;(3)先将不等式进行等价转化,再分离参数,构造函数运用导数知识求解:
(1)当时, ,∴,令,则,当时, ;当时, ,所以是的极小值点,无极大值点.
(2),
①当时, 在, 上单调递增;在上单调递减,
②当时, 在上单调递增.
③当时, 在, 上单调递增;在上单调递减
④当时, 在上单调递增,在上单调递减.
(3)∵, 。由得
对任意恒成立,即
对任意恒成立.
令, ,根据题意,可以知道的最大值为1,则 恒成立.
由于,则.
当时, ,令,则,令,得,则在上单调递减,在上单调递增,则,∴在上单调递增.
从而,满足条件,故的取值范围是.
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 (单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 (单位:万元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.