Question

（2007•肇庆二模）设函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T．
（Ⅰ）求M及T；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角、辅助角公式化简函数，可得M及T；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，可写出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）由f（x_i）=2，可得2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，xi=kπ+

π

6

(k∈Z)，从而可得结论．

解答：解：∵f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（4分）
（Ⅰ）M=2，T=

2π

2

=π；                                       （6分）
（Ⅱ）f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，（8分）
f（x）的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)；         （10分）
（Ⅲ）∵f（x_i）=2，
∴2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，xi=kπ+

π

6

(k∈Z)，（12分）
又0＜x_i＜10π（i=1，2，…，10），
∴x1+x2+…+x10=(0+1+2+…+9)π+10×

π

6

=

140

3

π．（14分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．