Question

12．点P（x₀，y₀）是曲线C：x=e^-|x|（x≠0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{2}{e}$
• B． $\frac{4}{e}$
• C． $\sqrt{e}$
• D． 2$\sqrt{e}$

Answer 1

分析 由函数为偶函数，可设y=e^-x（x＞0），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，y=0可得y．x轴的截距，再由三角形的面积公式，再求导数，求得单调区间，可得x₀=1处取得极大值，也为最大值，可得结论．

解答 解：可设y=e^-x（x＞0），
y′=-e^-x，
曲线C在点P处的切线斜率为k=-${e}^{-{x}_{0}}$，
即有曲线C在点P处的切线方程为y-${e}^{-{x}_{0}}$=-${e}^{-{x}_{0}}$（x-x₀），
可令y=0，则x=x₀+1，
令x=0，可得y=（x₀+1）${e}^{-{x}_{0}}$，
即有△AOB面积S=$\frac{1}{2}$=（x₀+1）²${e}^{-{x}_{0}}$，
S′=[2（x₀+1）-（x₀+1）²]${e}^{-{x}_{0}}$=（1+x₀）（1-x₀）${e}^{-{x}_{0}}$，
当0＜x₀＜1时，S′＞0，当x₀＞1时，S′＜0，
即有x₀=1处取得极大值，也为最大值$\frac{2}{e}$．
则△AOB面积的最大值为$\frac{2}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查三角形的面积的最值，考查运算能力，属于中档题．