Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于B、C两点，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点F且不垂直于x轴的直线l与双曲线分别交于点P、Q，请问：是否存在直线l，使△APQ构成以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，所以B(c，

b2

a

)，C(c，-

b2

a

)．由此能求出双曲线的方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．由l与双曲线有两个交点，故k²-3≠0.

x1+x2= 4k2 k2-3 x1x2= 4k2+3 k2-3

．要使△APQ成等腰直角三角形，则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0．由此能导出所求直线方程．

解答：解：（1）由题意得A（-a，0），F（c，0），BC⊥x轴，
∴B(c，

b2

a

)，C(c，-

b2

a

)．…（2分）
∴c=2a…（3分）
又|BC|=6，
∴

2b2

a

=6…（4分）
∴a²=1，b²=3，
∴所求双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y=k(x-2) x2- y2 3 =1

，
得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0．…（7分）
∵l与双曲线有两个交点，故k²-3≠0．
∴

x1+x2= 4k2 k2-3 x1x2= 4k2+3 k2-3

…（8分）
要使△APQ成等腰直角三角形，
则需AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|
由AP⊥AQ，
得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0…（10分）
即(1+k2)

4k2+3

k2-3

+(1-2k2)

4k2

k2-3

+1+4k2=0，
对k∈R，且k≠±

3

恒成立  （12分）
由|AP|=|AQ|得

(x1+1)2+y12=(x2+1)2+y22 ∴x1+x2+2=-k2(x1+x2-4)∴(1+k2) 4k2 k2-3 =4k2-2

解得k2=

1

3

即k=±

3

3

…（14分）
综上所述，所求直线存在，其方程为y=±

3

3

(x-2)（15分）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．