Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，且数列{a_n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b_n}满足bn=

a2n-1

a2n

，记数列{b_n}的前n项和为S_n，
（1）写出数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n；
（3）证明：当n≥6时，2-Sn＜

1

n

．

Answer 1

分析：（1）由题意知an=

n+1 2 n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 n=2k(k∈N*)

．
（2）bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，Sn=

1

2

+

2

4

+

3

8

++

n

2n

，

1

2

Sn=

1

4

+

2

8

+

3

16

++

n-1

2n

+

n

2n+1

，用错位相减法可以求出Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．
（3）2-Sn=(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n2+2n＜2n，由此能够求出当n≥6时，2-Sn＜

1

n

．

解答：解：（1）an=

n+1 2 n为奇数 2 n 2 n为偶数

；即an=

n+1 2 n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 n=2k(k∈N*)

；
（2）bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，
Sn=

1

2

+

2

4

+

3

8

++

n

2n

，

1

2

Sn=

1

4

+

2

8

+

3

16

++

n-1

2n

+

n

2n+1

，
两式相减，得

1

2

Sn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

++

1

2n

-

n

2n+1

=[1-(

1

2

)n]-

n

2n+1

，
所以，Sn=2-(n+2)(

1

2

)n；
（3）2-Sn=(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n2+2n＜2n，
当n≥6时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ
≥2+2n+n（n-1）+

n(n-1)(n-2)

6

≥2+2n+n²-n+n＞n²+2n，
所以，当n≥6时，2-Sn＜

1

n

．

点评：本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．