Question

设AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k_AB•k_OM=

 

．

Answer 1

分析：设出A，B两点的坐标求出中点M的坐标，根据题意表示出k_ABk_OM=

y 2 2 - y 1 2

x 2 2 - x 1 2

，再利用b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，代入可得答案．

解答：解：由题意得：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则中点M（

x1+ x2

2

，

y1+ y2

2

），
所以k_AB=

y2- y1

x2-x1

，k_OM=

y2+ y1

x2+x1

，
所以k_AB•k_OM=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

，
又因为点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）在椭圆上
所以b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
所以得b²（x₂²-x₁²）+a²（y2²-y₁²）=0，
所以

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

b2

a2

．
故答案为-

b2

a2

．

点评：解决此类题目的关键是利用设而不求的方法，即设出点的坐标而不求点的坐标直接根据题意写出表达式进行整体求解，此种方法在圆锥曲线部分常见．