Question

设AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴，若把长轴2010等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P₁，P₂，…，P₂₀₀₉，F₁为椭圆的左焦点，则|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|的值是（　　）

• A、2008a
• B、2009a
• C、2010a
• D、2011a

Answer 1

分析：先根据椭圆的定义可知|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，进而可求得|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|的值，进而根据点P₁，P₂，…，P₂₀₀₉关于y轴成对称分布，可知|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|=

1

2

（|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|），最后根据|F₁A|+|F₂B|=2a求得结果．

解答：解：由椭圆的定义可知|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a（i=1，2…，2009）
∴|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|=2a×2009=4018a
由题意知点P₁，P₂，…，P₂₀₀₉关于y轴成对称分布，
∴|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|=

1

2

（|F₁P₁|+|F₂P₁|+|F₁P₂|+|F₂P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₂P₂₀₀₉|）=2009a，
又∵|F₁A|+|F₂B|=2a
故所求的值为2011a．
故选D

点评：本题主要考查了椭圆的定义．考查了学生对椭圆第一定义的理解和灵活运用．