Question

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）垂直于x轴的一条弦，AB所在直线的方程为x=m（|m|＜a且m≠0），P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=

a2

m

于两点Q、R，求证

OQ

•

OR

＞4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图易求切点A₁（2，0），根据MO⊥A₁A₂可求直线A₁A₂的方程，从而可求椭圆上顶点，进而得a，b值；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），A（m，n），B（m，-n），则有

x

2 0

+4

y

2 0

-4=0，m²+4n²-4=0，写出直线AP方程可求得y_Q，同理求得y_R，于是可得y_Q•y_R，进而得到

OQ

•

OR

，再根据m的范围即可求证．

解答：解：（Ⅰ） 观察知，x=2是圆的一条切线，切点为A₁（2，0），
设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A₁A₂，
所以kA1A2=-

1

kMO

=-

1

2

，
所以直线A₁A₂的方程为y=-

1

2

(x-2)．
线A₁A₂与y轴相交于（0，1），依题意知a=2，b=1，
所求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ） 椭圆方程为

x2

4

+y2=1，设P（x₀，y₀），A（m，n），B（m，-n），
则有

x

2 0

+4

y

2 0

-4=0，m²+4n²-4=0，
在直线AP的方程y-n=

n-y0

m-x0

(x-m)中，令x=

4

m

，整理得yQ=

(m2-4)y0+(4-mx0)n

m(m-x0)

．①
同理，yR=

(m2-4)y0-(4-mx0)n

m(m-x0)

．②
①×②，并将

y

2 0

=1-

1

4

x

2 0

，n2=1-

1

4

m2代入得y_Q•y_R=

(m2-4)2 y 2 0 -(4-mx0)2n2

m2(m-x0)2

=

(m2-4)2•(1- 1 4 x 2 0 )+(4-mx0)2•( 1 4 m2-1)

m2(m-x0)2

=

(m2-4)(m-x0)2

m2(m-x0)2

=

(m2-4)

m2

．
而

OQ

•

OR

=(

4

m

，yQ)•(

4

m

，yR)=

16

m2

+yQ•yR=

m2+12

m2

=1+

12

m2

，
∵|m|＜2且m≠0，∴0＜m2＜4，

12

m2

＞3，
∴

OQ

•

OR

＞4．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，难度较大．