题目内容
已知函数,,函数的图像在点处的切线平行于轴.
(1)求的值;
(2)求函数的极小值;
(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点,(),证明:.
(1) ;(2);(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题考查函数与导数及运用导数求切线方程、单调区间、最值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,对求导,将代入得到切线的斜率,由已知得,即,所以;第二问,利用第一问的结论得到的解析式,对求导,判断函数的单调性和极值;第三问,先用分析法得出与结论等价的式子,即,先证不等式的右边,构造函数,通过求导数判断函数的单调性,求出最大值,所以,即,再证不等式的左边,同样构造函数,通过求导,求出最小值,即,即,综合上述两部分的证明可得.
试题解析:(1)依题意得,则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得:
∴ .
(2)由(1)得
∵函数的定义域为,令得或
函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.故函数的极小值为
(3)证法一:依题意得,
要证,即证
因,即证
令(),即证()
令()则
∴在(1,+)上单调递减,
∴ 即, ①
令()则
∴在(1,+)上单调递增,
∴=0,即() ②
综①②得(),即.
【证法二:依题意得,
令则
由得
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