Question

14．已知m≥1，n≥1，且满足$lo{{g}_{a}}^{2}$m+$lo{{g}_{a}}^{2}$n=log_a（am²）+log_a（an²）（a＞1），求log_a（mn）的最值．

Answer 1

分析 令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），可得到（x-1）²+（y-1）²=4，再通过三角换元即可求得答案．

解答 解：依题意，令log_am=x，（x＞0），log_an=y（y＞0），
则log²_am=x²，log²_an=y²，log_a（am²）=log_aa+2log_am=1+2x，同理可得，log_a（an²）=1+2y，
∴x²+y²-2x-1-2y-1=0，
∴（x-1）²+（y-1）²=4，
令x-1=2cosθ，y-1=2sinθ，
则x=1+2cosθ≥0，y=1+2sinθ≥0，
∴-$\frac{π}{6}$≤θ≤$\frac{2π}{3}$，
∴log_a（mn）=log_am+log_an=x+y=1+2cosθ+1+2sinθ=2+2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{12}$≤θ+$\frac{π}{4}$≤$\frac{11π}{12}$
∴1+$\sqrt{3}$≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤2+2$\sqrt{2}$，
∴1+$\sqrt{3}$≤log_a（mn）≤2+2$\sqrt{2}$，
∴log_a（mn）的最大值为2+2$\sqrt{2}$，最小值为1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查对数的运算性质，考查三角换元，考查转化思想与抽象思维能力，属于难题．