题目内容
【题目】已知圆
：
，椭圆
：
的离心率为
，圆上任意一点
处的切线交椭圆于两点
，
，当恰好位于
轴上时，
的面积为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
为定值且定值为
，详见解析
【解析】
（1）根据题意，结合图形特点求解出
与
的长，再结合椭圆的离心率特点代换出关于
的椭圆标准方程，将点
坐标代入椭圆方程即可求得标准方程
（2）分两种情况进行讨论，当过点
的圆的切线斜率为0或不存在时，
，当斜率存在时，设切线方程为
，采用解析几何方法联立切线与椭圆标准方程，得出关于两点横坐标的韦达定理，再用弦长公式表示出，最终将表达式进行化简求值即可
解：（1）由椭圆的离心率为
知
得
，
∴椭圆
的方程为
.
由圆的切线性质、圆的对称性及
的面积为得：
，
又
，∴
，
设
，则
，
，将其代入椭圆方程得
，
，
∴椭圆的方程为.
（2）①当过点的圆的切线斜率为0或不存在时，，
②当过点的圆的切线斜率存在且不为0时，设切线的方程为，
，
，∴
，即
.
联立直线和椭圆的方程得：
，即
，
则
，
设
，则
,
由
，解得
，
∴
，
综上所述，为定值且定值为.
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图
（1）将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
| 0.15 | 0.10 | 0.050 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 |
附:
.
