题目内容

【题目】

  1. (2015·四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )


A.(1,3)
B.(1, 4)
C.(2,3)
D.(2,4)

【答案】D
【解析】显然当直线f的斜率不存在时,必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时,设斜率为k .设A(x1, y1), B(x2, y2), x1≠x2 , M(x0, y0), 则,相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 由于x1≠x2 , 所以, 即ky0=2, 圆心为C(5,0),由CM⊥AB,得k·=-1, ky0=5- x0. 所以2=5- x0 , x0=3, 即点M必在直线x=3上将x=3代入y2=4x得y2=12, ∴-2<y0<2. 因为点M在圆(x-5)2+y2=r2(r>0)上, 所以(x0-5)2+y02=r2 , r2=y02+4<12+4=16, 又y02+4>4(由于斜率不存在, 故y0≠0, 所以不取等号),所以4<y02+4<16, 所以2<r<4, 选D。

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