题目内容

如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，BC=2，AC=2 $数学公式$ ，AB=2 $数学公式$ ，AA₁=A₁C= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求侧棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的长度．
（Ⅱ）设AC的中点为D，证明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅲ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的余弦值．

（Ⅰ）解：∵ABC-A₁B₁C₁是斜三棱柱，∴B₁B∥平面A₁ACC₁，
故侧棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的长度等于侧棱B₁B的长度．（2分）
又BB₁=AA₁= $\text{[math]}$ ，故侧棱B₁B在平面A₁ACC₁的正投影的长度等于 $\text{[math]}$ ．（3分）
（Ⅱ）证明：∵AC=2 $\text{[math]}$ ，AA₁=A₁C= $\text{[math]}$ ，∴AC²=AA₁²+AC₁²，
∴△AA₁C是等腰直角三角形，（5分）
又D是斜边AC的中点，∴A₁D⊥AC（6分）
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁D⊥底面ABC（7分）
（Ⅲ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，
∵A₁D⊥面ABC，AB?面ABC，∴A₁D⊥AB，
∵A₁D∩DE=D，∴AB⊥平面A₁ED，（8分）
从而有A₁E⊥AB，∴∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角．（9分）
∵BC=2，AC=2 $\text{[math]}$ ，AB=2 $\text{[math]}$ ，∴AC²=BC²+AB²，
∴△ABC是直角三角形，AB⊥BC
∴ED∥BC，
又D是AC的中点，BC=2，AC=2 $\text{[math]}$ ，∴DE=1，A₁D=AD= $\text{[math]}$ ，
∴A₁E= $\text{[math]}$ =2
∴cos∠A₁ED= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（Ⅰ）由B₁B∥平面A₁ACC₁，可得侧棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的长度等于侧棱B₁B的长度；
（Ⅱ）利用平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可证A₁D⊥底面ABC；
（Ⅲ）要求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小，利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．所以∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角，求解即可．
点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．