题目内容
如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，BC=2，AC=2| 3 |
| 2 |
| 6 |
（Ⅰ） 设AC的中点为D，证明A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ） 求异面直线A1C与AB成角的余弦值．
分析：（Ⅰ）利用平面A1ACC1⊥平面ABC，可证A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）过B作AC的垂线BE，垂足为E，以D为原点，A1D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，通过计算求出向量
，
的坐标，利用向量的夹角公式即可求得．
（Ⅱ）过B作AC的垂线BE，垂足为E，以D为原点，A1D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，通过计算求出向量
| A1C |
| AB |
解答：（Ⅰ）证明：∵AC=2
，AA1=A1C=
，∴AC2=AA12+A1C2，
∴△AA1C是等腰直角三角形，
又D是斜边AC的中点，∴A1D⊥AC，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2
，AB=2
，AC2=AB2+BC2，
∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，
则BE=
=
=
，EC=
=
=
，
∴DE=CD-EC=
-
=
，
以D为原点，A1D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，-
，0），A1（0，0，
），B（
，
，0），C（0，
，0），
=（0，
，-
），
=（
，
，0），
所以cos＜
，
＞=
=
，
故所求余弦值为
．
| 3 |
| 6 |
∴△AA1C是等腰直角三角形，
又D是斜边AC的中点，∴A1D⊥AC，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2
| 3 |
| 2 |
∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，
则BE=
| AB•BC |
| AC |
2•2
| ||
2
|
2
| ||
| 3 |
| BC2-BE2 |
4-
|
2
| ||
| 3 |
∴DE=CD-EC=
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
以D为原点，A1D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，-
| 3 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| A1C |
| 3 |
| 3 |
| AB |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
所以cos＜
| A1C |
| AB |
| ||||
|
|
| ||
| 3 |
故所求余弦值为
| ||
| 3 |
点评：本题考查空间中直线与平面所成的角、异面直线所成的角，考查空间向量在立体几何中的应用，考查学生的计算能力．
练习册系列答案
名师导航单元期末冲刺100分系列答案
名校名卷单元同步训练测试题系列答案
相关题目
（甲）如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，侧棱AA1=13cm，顶点A1与下底面各个顶点的距离相等，求这个棱柱的全面积．