Question

设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x²是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，记∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据β函数的定义，对集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，可以用作差法证明f（x）=x²是否是其定义域上的β函数；
（2）利用特殊值发进行判断，只要有一个点不满足即可；
（3）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]利用α-β函数的概念求得a_n=2n，从而转化为等差数列的求和问题；

解答：（1）解：∵f(

1

4

x1+

3

4

x2)-[

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)]=(

1

4

x1+

3

4

x2)2-(

1

4

x12+

3

4

x22)=-

3

16

x12-

7

16

x22+

3

8

x1x2
=-

3

16

(x1-x2)2-

5

8

x22＜0
∴对定义域中的任意两数x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，
∴f（x）=x²是其定义域上的β函数；
（2）证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0
∴x₁=x₂=0时，f(

1

4

×0+

3

4

×0)=

1

4

f(0)+

3

4

f(0)
∴f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的α-β函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么∫=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可知f（x）=2x是α-β函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时∫=m²+m．
综上所述，∫的最大值为m²+m．

点评：本题考查函数的概念与最值及数列的求和，难点在于通过对α-β函数的理解转化为数列求和问题，属于难题．