题目内容
20. 现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0＝0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T＝a0+a1+…+a5，xn=
，yn=
（a0+a1+…+an），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折线. （Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设Pn－1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）<x；
（Ⅳ）求由函数y=x与y=f（x）的图象所围成图形的面积（用a1，a2，a3，a4，a5表示）.
20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）解：f（0）==0，
f（1）==1.
（Ⅱ）解：kn=
=
，n=1，2，…，5，
因为a1<a2<a3<a4<a5，
所以k1<k2<k3<k4<k5.
（Ⅲ）证明：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）<x（0<x<1），只需证明f（xn）<xn（n=1，2，3，4）.事实上，当x∈（xn－1，xn）时，
f（x）=
（x－xn－1）+f（xn－1）
=
f（xn－1）+
f（xn）
<
xn－1+
xn=x.
下面证明f（xn）<xn .
证法一：
对任何n（n=1，2，3，4），
5（a1+…+an）=[n+（5－n）]（a1+…+an）
=n（a1+…+an）+（5－n）（a1+…+an）
≤n（a1+…+an）+（5－n）nan
=n[a1+…+an+（5－n）an]
<n（a1+…+an+an+1+…+a5）=nT，
所以f（xn）=
<
=xn .
证法二：
对任何n（n=1，2，3，4），
当kn<1时，
yn=（y1－y0）+（y2－y1）+…+（yn－yn－1）
=
（k1+k2+…+kn）<
=xn.
当kn≥1时，
yn=y5－（y5－yn）
=1－[（yn+1－yn）+（yn+2－yn+1）+…+（y5－y4）]
=1－
（kn+1+kn+2+…+k5）<1－
（5－n）=
=xn，
综上，f（xn）<xn.
（Ⅳ）解：设S1为［0，1］上折线f（x）与x轴及直线x=1所围成图形的面积，则
S1＝
（y0+y1）（x1－x0）+
（y1+y2）（x2－x1）+
（y2+y3）（x3－x2）+
（y3+y4）（x4－x3）+
（y4+y5）（x5－x4）
=
（2y1+2y2+2y3+2y4+y5）
=
[a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）]+
=
（
直线y=x与折线y=f（x）所围成图形的面积为
S＝
－S1＝
.
智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
,yn=
(a0+a1+…+an),作函数y=f(x),使其图象为逐点依次连结点Pn(xn,yn)(n=0,1,2, …,5)的折线.
，yn=
（a0+a1+…+an），作函数y=f（x），使其图像为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折线.
，
（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．